八年级数学勾股定理解题技巧专题训练


勾股定理与面积问题,三角形中利用面积法求高,例题1、直角三角形的两条直角边的长分别为 5 cm,12 cm,则斜边上的高线的长为 (D ) 。

一、勾股定理与面积问题

1、 三角形中利用面积法求高

例题1、直角三角形的两条直角边的长分别为 5 cm,12 cm,则斜边上的高线的长为 (D ) 。

A、80/13 cm B、13 cm C、13/2 cm D、60/13 cm

例题2、点 A 、B、 C 在格点图中的位置如图所示,格点小正方形的边长为 1 ,则点 C 到线段 AB 所在直线的距离是多少?。

第2题图

答案:3√5 / 5 。

解析:如图,连接 AC,BC,设点 C 到线段 AB 所在直线的距离是 h ;

第2题解答图

∵ S△ABC = 3×3 - 1/2 × 2×1 - 1/2 ×2×1 - 1/2 × 3 × 3 - 1 = 3/2 , AB = √5 ,

∴ 1/2 × √5 × h = 3/2 解得 h = 3√5 / 5 。

2、利用乘法公式巧求面积或长度

例题3、已知 Rt△ABC 中,∠C=90°,若a+b=12cm,c=10cm,则 Rt△ABC 的面积是 (D ) 。

A、48 cm2 B、24 cm2 C、16 cm2 D、11 cm2

例题4、若一个直角三角形的面积为 6 cm2,斜边长为 5 cm,则该直角三角形的周长是 (D )。

A.7 cm B、10 cm C、(5+√37 ) cm D、12 cm

例题5、 “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲。如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形,设直角三角形较长直角边长为 a,较短直角边长为 b,若 (a+b)^2=21,大正方形的面积为13,则小正方形的面积为( C ) 。

第5题图

A、3 B、4 C、5 D、6

3、利用割补法求面积

例题6、 如图,已知AB=5,BC=12,CD=13,DA=10,AB⊥BC,求四边形 ABCD 的面积。

第6题图

解:

第6题答图

连接 AC,过点 C 作 CE⊥AD 交 AD 于点 E

∵ AB⊥BC ∴ ∠CBA=90° .在Rt△ABC中,由勾股定理得AC=13

.∵ CD=13,∴ AC=CD

.∵ CE⊥AD,∴ AE= 5

.在 Rt△ACE中,由勾股定理得 CE=12

.∴ S四边形ABCD= S△ABC + S△CAD = 30 + 60 = 90 。

例题7、如图,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2,求四边形 ABCD 的面积 。

第7题图

解:延长AD,BC交于点 E

.∵ ∠B=90°,∠A=60°,∴∠E=30°

∴ AE=2AB=8 在Rt△ABE中,由勾股定理得 BE = 4√3 。

∵∠ADC=90°,∴∠CDE=90°,

∴CE=2CD=4 在 Rt△CDE 中,由勾股定理得 DE=4√3 。

∴ S四边形ABCD = S△ABE - S△CDE = 1/2 × AB × BE - 1/2 × CD × DE = 6√3 。

二、勾股定理中的思想方法

1、分类讨论思想

① 直角边与斜边不明需分类讨论

例题8、一直角三角形的三边长分别为2,3,x,那么以 x 为边长的正方形的面积为 (C)。

A、13 B、5 C、13 或 5 D、4

例题9、直角三角形的两边长是 6 和 8,则这个三角形的面积是 24 或 6√7

② 锐角或钝角三角形形状不明需分类讨论

例题10、在△ABC中,AB=10,AC=2√10,BC 边上的高 AD=6,则BC的长为 (C )。

A、10 B、8 C、6 或 10 D、8 或 10

例题11、在等腰△ABC中,已知AB=AC=5,△ABC 的面积为10,则 BC= 2√5 或 4√5

2、方程思想

① 实际问题中结合勾股定理列方程求线段长

例题12、如图,小华将升旗的绳子拉到旗杆底端,绳子末端刚好接触到地面,然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处,发现此时绳子末端距离地面2m,则旗杆的高度为________。

第12题图

答案: 17 m 。

② 折叠问题中结合勾股定理列方程求线段长

例题13、如图,将长方形 ABCD 沿 EF 折叠,使顶点 C 恰好落在 AB 边的中点 C′上.若AB=6,BC=9,求BF的长。

第13题图

解:

∵ 折叠前后两个图形的对应线段相等

∴ CF=C′F , 设 BF=x .∵ BC=9,∴C′F=CF=BC-BF=9-x.

∵ C′ 是 AB 的中点,AB=6,∴ BC′= 3

在Rt△C′BF 中,由勾股定理得 C′F^2=BF^2+C′B^2,即(9-x)^2=x^2+3^2,

解得 x=4,即BF的长为 4 。

③ 利用公共边相等结合勾股定理列方程求线段长

例题14、如图,在△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,求△ABC的面积。

第14题图

解:

第14题答图

过点 A 作 AD⊥BC 交BC 于点 D

在△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,设 BD=x,则CD=BC-BD=14-x;

在Rt△ABD 和 Rt△ACD中,由勾股定理得

AD^2=AB^2-BD^2=15^2-x^2,

AD^2=AC^2-CD^2=13^2-(14-x)^2,即15^2-x^2=13^2-(14-x)^2,

解得 x=9,在Rt△ABD中,由勾股定理得 AD=12

∴ S△ABC=1/2 BC·AD=1/2 × 14 ×12=84。

3、利用转化思想求最值

例题15、一只蚂蚁从棱长为4cm的正方体纸箱的A点沿纸箱外表面爬到B点,那么它的最短路线的长是________cm。

第15题图

答案:4√5 。

例题16、如图,A,B两个村在河CD的同侧,且AB=√13 km,A,B两村到河的距离分别为AC=1 km,BD=3 km。现要在河边CD上建一水厂分别向A,B两村输送自来水,铺设水管的工程费每千米需3000元。请你在河岸CD上选择水厂位置O,使铺设水管的费用最省,并求出铺设水管的总费用W(元)。

第16题图

解:

第16题答图

如图,作点 A 关于 CD 的对称点 A′,连接 BA′ 交 CD 于 O,点 O 即为水厂的位置。

过点A′ 作 A′E∥CD 交 BD 的延长线于点 E,过点 A 作 AF⊥BD 于点 F,则AF=A′E,DF=AC=1km,DE=A′C=1km。

∴ BF=BD-FD=3-1=2 (km)。

在Rt△ABF中,AF^2=AB^2-BF^2=13-22= 9,∴AF=3 km ∴ A′E=3 km。

在Rt△A′BE中,BE=BD+DE=4 km,由勾股定理得A′B= 5 (km)。

∴W=3000×5=15000(元),故铺设水管的总费用为15000元。